20241025_ISM

October 25, 2024

20241018_ISM

电离气体的压强平衡

伴随较高温度的是较大的压强

所有的粒子具有一个 distribution function $f(\vec{x},\vec{p},t)$，满足 Boltzmann 方程

假设粒子是无碰撞的，则有

$$ \frac{\partial f}{\partial t}+\vec{v}\frac{\partial f}{\partial \vec{x}}+\vec{v} \frac{\partial f}{\partial \vec{x}}=0 $$

用 Lagrange 方法分析，限定一个粒子 group 而不限定区域。

可以将流体分为很多微元进行分析，微元的尺度大于碰撞 mean free path，在这一尺度之上粒子的运动速度近似由温度决定

$$ \lambda_\mathrm{mfp}=1\times10^6\text{cm}\left( \frac{T^2}{n} \right) $$

（cgs 单位制）

对于恒星来说，mfp 大约是 10nm.
对于 stellar wind, mfp 是 pc 量级，可以视作无碰撞的流体
- particle in cell simulation
cluster 中的 ICM 温度很高，足以产生可以和引力相平衡的压强（用引力势来计算温度，称为 virial temperature）
- 虽然 mfp 是 0.1 Mpc，但是 ICM 尺度更大（100 Mpc）

流体力学基本方程 #

质量守恒 #

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\vec{u}\cdot \nabla \rho+\rho \nabla\cdot \vec{u}=0 $$

(Euler view)

随动导数定义为

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}=\frac{\partial}{\partial t}+\vec{u}\cdot\nabla $$

动量守恒 #

$$ \frac{\partial (\rho \vec{u})}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho \vec{u}\vec{u})=-\nabla\cdot P-\rho \nabla \Phi $$

第二项是对并矢求散度，第三项中 $P$ 也是一个张量。

能量守恒 #

$$ \frac{\partial \mathcal{E}}{\partial t}+\nabla\cdot \rho \vec{u} \left( \frac{1}{2}\vec{u}^2+\frac{\gamma P}{(\gamma-1)\rho}+\Phi \right)=H+L $$

其中 $\gamma$ 蕴含物态方程的信息。

$$ P=\rho^\gamma $$

对于单原子理想气体之外的其他介质，$\gamma$ 的值大约在 $1\sim 5/3$ 之间。

声波传导 #

假设介质初始处于 $\rho_0,\vec{u}_0=0$ 的状态，增加一个微扰并研究一阶近似。

$$ \frac{\partial \rho'}{\partial t}+\rho_0\nabla\cdot \vec{u}'=0 $$

$$ \frac{\partial^2}{\partial t^2} \frac{\rho'}{\rho_0}=\frac{\gamma P_0}{\rho_0}\nabla^2 \frac{\rho'}{\rho_0} $$

其中 $c_s^2=\frac{\gamma P_0}{\rho_0}$ 是绝热声速，描述密度扰动传播的速度。

Shock Wave #

$$ c_s^2\propto \rho^{\gamma-1} $$

密度较大的地方声速也比较快，使得波形变得更加 sharp；在 shock wave 两侧物理性质出现突变

Supernovae #

激波是密度的传播。

激波两侧的物理性质用 $\rho,P,T$ 描述。如果建立随 shock wave 运动的参考系，wave 两侧的物理性质不随时间变化。

$$ (\rho u)_1=(\rho u)_2 $$

$$ (\rho u^2+P)_1=(\rho u^2+P)_2 $$

$$ \left( \frac{u^2}{2}+E+\frac{P}{\rho} \right)_1=\left( \frac{u^2}{2}+E+\frac{P}{\rho} \right)_2 $$

其中 $E=\frac{1}{\gamma-1} \frac{P}{\rho}$.

Mach number 用于描述粒子速度和声速的比值

$$ \mathcal{M}_1=\frac{u_1}{c_1}=\left( \frac{\rho_1u_1^2}{\gamma P_1} \right)^{1/2} $$

可以算出 $\rho,P,T,u$ 等物理性质在 wave front 前后的比值和 Mach number 的关系。对于 supernovae，Mach 数非常高。这种情况下可以进行近似

$$ \frac{\rho_2}{\rho_1}=\frac{\gamma+1}{\gamma-1}\approx4 $$

波后的速度是波前的 4 倍，但是可以产生很高的波后温度和压强。

$$ T_2=10^7\left( \frac{u_1}{10^3\text{km}/\text{s}} \right)^2\text{K} $$

对于波后的高温，冷却速度非常快。假设波后的冷却非常有效，激波两侧的能量守恒被打破，也就是 $T_3=T_1$.（这种情况下的激波称为辐射激波）

辐射激波的压缩倍数（密度之比）可以达到 100~1000 量级。对于具有高 mach number 的气体，cooling 效率又降低，所以压缩倍数存在一个上限。

辐射激波可以造成恒星形成的链式反应。

Supernovae Remnant #

考虑 non-radiative spherical shock wave

超新星爆发产生的 shock wave 导致碰撞电离，并且造成电离发射线。

一个简单的物理模型：短时间向很小的区域内注入大量能量

爆发时，除中心铁核之外，外围包层（典型质量为 10 solar mass）以 ejecta 的形式向外扩散（3000~5000 kms）（典型能量为 1e51erg，核聚变炸弹的能量为 1e20erg）

Free-expansion Phase #

shock wave 的速度不变（$r\propto t$）

结束的标志是 ejecta 质量和被带动的 ISM 质量近似

对应的典型半径约为 4.1pc，时标为 100yr 量级。

Sedov–Taylor Phase #

超新星爆发的重要属性是能量、周围介质的密度，无法构造出特征的时标和尺度，这是一个 self-similar system；演化和时间是相关的

Sedov-Taylor solution:

$$ R\propto \left( \frac{Et^2}{\rho}\right)^{1/5} $$

$$ u\propto t^{-3/5} $$

典型的膨胀过程是 $t=10^3\text{yr}$，$r=5.3\text{pc}$.

Snowplow Phase #

扫雪机/雪耙

标志是 shell density 非常高，中心压强驱动 wave 的传播

可以近似为绝热膨胀过程，冷却依靠对外做功。

$$ r\propto t^{2/7} $$

H II 的激波 #

对于高温电离区，也会产生激波，但是和 supernovae shock wave 相比很弱